tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1 dan y = x + 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1 dan y = x + 3 adalah 4 ½ satuan luas. Hasil tersebut diperoleh dengan menggunakan integral tentu. Integral adalah anti turunan atau lawan dari turunan. Bentuk umum integral tak tentu adalah ∫ f’(x) dx = f(x) + C. Rumus dasar Integral:

• ∫ axⁿ dx = [tex]\frac{a}{n+1} x^{n + 1}[/tex] + C, dengan n ≠ –1

Rumus Integral Tentu

• ₐ∫ᵇ f’(x) dx = f(x) ₐ|ᵇ = f(b) – f(a)

Untuk menentukan luas daerah kurva, bisa menggunakan integral tentu

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) di atas sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b adalah

• L = ₐ∫ᵇ f(x) dx

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) di bawah sumbu x pada interval a ≤ x ≤ b adalah

• L = ₐ∫ᵇ –f(x) dx

Luas daerah yang dibatasi dua kurva

• L = ₐ∫ᵇ f(x) – g(x) dx

dengan

• f(x) = kurva atas
• g(x) = kurva bawah

Pembahasan

Sebelumnya, kita gambar dulu sketsa dari kurva:

y = x² + 1

• Karena koefisien x² nya positif (a > 0) maka kurva terbuka ke atas
• Karena D < 0 (D = b² – 4ac = –4) maka kurva tidak memotong sumbu x (kurva berada di atas sumbu x
• Kurva memotong sumbu y di titik (0, c) = (0, 1)

y = x + 3

• jika x = 0 maka y = 3 ⇒ (0, 3)
• jika y = 0 maka x = –3 ⇒ (–3, 0)

tarik garis yang melalui titik (0, 3) dan (–3, 0)

Maka sketsa gambarnya bisa dilihat di lampiran

Berdasarkan grafik yang dibuat, maka kurva bawahnya y = x² + 1 dan kurva atasnya y = x + 3

Batas integralnya yaitu dengan mencari titik potong kurva dengan garis

y = y

x² + 1 = x + 3

x² – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = –1

Jadi luas daerah kurvanya adalah

L = ₋₁∫² (x + 3) – (x² + 1) dx

L = ₋₁∫² (–x² + x + 2) dx

L = (–⅓ x³ + ½ x² + 2x) ₋₁|²

L = (–⅓ (2)³ + ½ (2)² + 2(2)) – (–⅓ (–1)³ + ½ (–1)² + 2(–1))

L = ([tex]-\frac{8}{3}[/tex] + 2 + 4) – (⅓ + ½ – 2)

L = [tex]-\frac{8}{3}[/tex] + 6 – ⅓ – ½ + 2

L = [tex]-\frac{9}{3}[/tex] + 8 – ½

L = –3 + 8 – ½

L = 5 – ½

L = 4 ½ satuan luas

L = [tex] \frac{9}{2}[/tex] satuan luas

Cara lain

Jika dibatasi dua kurva dengan y₁ – y₂ = ax² + bx + c maka  

L = [tex] \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}[/tex] dengan D = b² – 4ac

Jadi

y₁ – y₂ = (x² + 1) – (x + 3) = x² – x – 2

• D = b² – 4ac = (–1)² – 4(1)( –2) = 1 + 8 = 9

Luas daerah kurva adalah

L = [tex] \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}}[/tex] satuan luas

L = [tex] \frac{9 \sqrt{9}}{6(1)^{2}}[/tex] satuan luas

L = [tex] \frac{9 (3)}{6}[/tex] satuan luas

L = [tex] \frac{9}{2}[/tex] satuan luas

L = 4 ½ satuan luas

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang luas daerah kurva

https://brainly.co.id/tugas/5443990

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika

Kategori : Integral Fungsi Aljabar

Kode : 11.2.10

Kata Kunci : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1 dan y = x + 3